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제10강 비행기의 IRS와 미적분 본문

완결된 연재/(完) 하늘의 과학

제10강 비행기의 IRS와 미적분

Editor! 2019.03.11 14:28

이번 강의 주제인 관성참조시스템(IRS, Inertial Reference System)은 장거리 비행기에 장착된 자동제어시스템에서 필수적인 장치입니다. IRS는 최신의 관성항법시스템(INS, Inertial Navigation System, 관성 센서로 자세, 방위, 거리 등을 측정하는 자립항법시스템)으로 거의 모든 여객기에 위성항법시스템(GPS)과 함께 장착되어 있습니다. GPS만으로 비행기의 자세까지 알아낼 수 없기 때문입니다. 목적지에 도달하기 위해서는 항공기의 자세, 속도 또는 가속도를 산출하고, 항공기 자체의 속도 및 고도, 수평 위치를 계산해 알고 있어야 합니다. 그러기 위해서는 IRS와 GPS를 통해 비행기의 위치를 확인할 뿐만 아니라 움직임을 계속 추적해야 합니다. 이때 필요한 개념이 미분(differential)과 적분(integral)입니다.

비행기에서 표현하는 속도의 정의에는 극한과 미분의 개념이 숨어 있습니다. “현재 이 비행기의 속도는 시속 900킬로미터”라는 말은 값에서 가 무한히 작아져 극한 값으로 정의한 순간 속도를 의미합니다. 어떤 함수나 운동의 순간적인 변화율을 서술하는 미분과, 잘게 나눈 것을 쌓는 것을 의미하는 적분은 상대되는 개념입니다. 비행기에서의 가속도 측정 장치는 1초에 수십 번 이상 항공기의 가속도를 측정하고, 측정된 가속도를 컴퓨터로 연산을 합니다. 이러한 연산의 핵심은 적분이며, 가속도를 적분해 속도를 구하고 속도를 적분해 이동 거리를 구합니다. 또 적분은 비행기의 면적과 체적 계산에 유용하며 특히 비행기 동체 전후 방향에서의 단면적은 항공기 항력 성능을 결정하는 데 중요한 형상 정보입니다. 그럼 비행기가 미적분을 활용한 항법 정보를 어떻게 획득해 목적지까지 비행하는지도 알아보겠습니다. 


「하늘의 과학」 연재 순서


제1강 여객기의 크기와 반응

제2강 항공기 소음과 로그 함수

제3강 항공기의 무게 중심과 안정성

제4강 항공기의 순항 비행

제5강 항공기의 이륙과 상승 비행 

제6강 항공기의 선회 비행과 하중 계수 

제7강 항공기의 강하 비행과 착륙

제8강 비행기의 측풍 착륙과 벡터

제9강 비행기의 자동 조종 장치와 선형 대수

제10강 비행기의 IRS와 미적분

제11강 원자폭탄과 이동수단

제12강 우주 비행 궤도


※ 상황에 따라 연재 순서는 변경될 수 있습니다. 





하늘의 과학: 장조원의 항공 우주 과학의 정석

제10강 비행기의 IRS와 미적분



함수의 극한

영국의 물리학자 아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1643~1727년)과 독일의 수학자 코트프리드 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646~1716년)는 독자적으로 무한소를 이용한 계산법(미적분)을 발견했다. 뉴턴이 발견한 유율법(fluxion)은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법이다. 한편 라이프니츠가 창시한 무한소 미적분은 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 미분의 변화량을 가질 때 함수 f(x)의 변화량을 구하는 방법을 말한다. 그는 미분 기호 d와 적분 기호 의 창안자이기도 하다. 


뉴턴(좌)과 라이프니츠(우)


두 사람은 서로 미분의 업적 소유권 문제로 장기간 논쟁했지만 지금은 서로 독자적인 방법으로 미분을 발견했다고 평가한다. 당시 미적분은 논리가 미흡했기 때문에 주위로부터 많은 비판을 받았다. 그래서 미흡한 미적분의 논리적 토대를 마련하기 위해 수열의 극한을 정의하고 이어 함수의 극한도 정의했다. 극한은 접근을 바탕으로 한 수학적 개념으로 미적분학에 기초가 되는 개념이다. 예를 들어 유체역학에서 표현하는 밀도에 대해 알아보자. 점은 위치만 있고 크기가 없으므로 점에서의 밀도를 언급하는 것은 말이 안 된다고 생각할 수 있다. 그러나 연속체 역학에서의 밀도는 그 위치에서의 극한 값으로 아주 작은 체적에 아주 작은 양이 있다고 생각할 수 있다. 따라서 이점에서의 밀도가 얼마인가를 이야기할 때 극한의 개념이 들어가 있는 것이다. 

수열의 극한은 무한수열 {an}에서 n이 무한대로 커짐에 따라 an이 일정한 값 α에 무한히 접근하는 것을 말한다. 수열의 극한값 또는 극한 α는 다음과 같이 나타낸다.



변수 x가 한없이 어떤 값 a에 가까워질 때 x는 a에 수렴한다고 하며, x → a로 나타낸다. 함수의 극한은 함수 f(x)에서 x가 어떤 값 a에 무한히 접근함에 따라 함수 f(x)도 어떤 값 b에 한없이 접근하는 것을 말한다. 함수의 극한은 x가 특정점에 가더라도 성립하는데 이것이 바로 수열의 극한과 다른 점이다. 변수 x → a일 때 함수 f(x)가 b에 수렴한다고 하고, b를 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라 한다. 이것은 보통 다음과 같은 기호로 나타낸다.



함수의 극한


연구실에서 실험 재료를 반복해 섞을 때 직접 무한히 반복할 수는 없지만 극한의 개념을 응용해 무한히 반복한 결과를 얻을 수 있다. 그러므로 실험을 무한히 반복하지 않고도 결과를 예측할 수 있는 수학의 기법이 숨어 있는 것이다.



함수의 도함수를 구하는 미분

뉴턴은 유율법을 만들어 미적분에 이용했다. 유율의 비는 무한히 작은 시간 간격 사이에 발생하는 두 증분량의 비를 의미한다. 라이프니츠 또한 무한소 문제를 풀기 위한 것으로 곡선의 접선, 곡률 반경, 무게중심 등을 구하기 위해 사용했다. 한편 방사성 붕괴에 대한 미분 방정식의 해는 방사선 동위원소의 양에 비례하는 지수적 감쇠(exponential decay)로 나타나 화석이나 암석의 나이를 측정할 수 있다. 이렇게 유용하게 사용되는 미분에 대해 좀 더 알아보자.

시간에 따른 위치 그래프에서 평균 속도 는 두 점을 맺는 직선의 기울기로 평균변화율 로 나타낼 수 있다. 변화 구간이 주어지지 않은 어느 순간에서의 속도는 어떻게 구할 수 있을까? 시간이 t일 때 순간의 속도를 나타낼 필요가 있다. 


함수 f(t)의 미분


순간 속도는 함수 에서 가 한없이 0에 가까워질 때의 평균변화율의 극한으로 표현할 수 있다.



이러한 극한은 t에 대한 x의 도함수라 하며 미분 기호 로 나타낸다. 함수 의 도함수는 함수 의 그래프 상에서 t의 좌표가 t인 점에서의 접선의 기울기를 나타낸다. 그러므로 함수 의 도함수는 상수인 점에서 접선의 기울기를 임의의 점에서 접선의 기울기로 나타낸 것으로 상수를 변수로 바꾸어 놓은 것과 같다. 

일반적으로 함수 의 도함수 는 의 임의의 점에서의 접선의 기울기를 의미하며, 이와 같이 도함수를 구하는 것을 함수 를 x에 대해 미분한다고 한다. 한편 함수 로 표현될 때 시각 t에서의 순간 가속도 a는 다음과 같이 표현된다.

 


예를 들어 위치 함수 x가 t2으로 표현될 때 시간 t에서 t+까지 변할 때 속도는 이므로 평균 속도는 다음과 같다.



시간의 변화를 나타내는 가 무한히 0에 접근한다고 하면 평균 속도가 순간 속도가 되며 순간 속도는 의 극한값인 2t가 된다. 순간 속도는 위치함수 t2을 시간에 대해 미분한 값인 2t가 되며, 시각 t에서의 순간 속도 의 도함수인 2는 시각 t에서의 순간 가속도에 해당한다. 

이와 같이 미분은 어떤 함수나 운동의 순간적인 변화율을 서술하는 방법을 말한다. 따라서 미분은 산의 경사도, 함수의 기울기, 속도 등을 표현하는데 유용하다. 예를 들어 유체역학에서 표현하는 속도에 대해 알아보자. “현재 이 비행기의 속도는 시속 900킬로미터”라는 말은 값에서 가 무한히 작아져 극한 값으로 정의한 순간 속도를 의미한다. 이와 같이 비행기 속도의 정의에는 극한과 미분의 개념이 숨어 있다. 



잘게 나눈 것을 쌓는 적분

항공 분야에서 비행기의 면적 및 체적을 계산하는 데 유용하게 활용되는 적분의 기호 는 Sum의 첫 글자인 S를 길게 늘어뜨린 것이다. 고대 그리스의 대표적인 과학자인 아르키메데스(Archimedes, B.C. 287~B.C. 212년)는 미적분의 선구자로 부르기도 한다. 그는 도형의 면적이나 부피를 구하는데 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용함으로써 적분의 아이디어를 처음으로 생각해 냈기 때문이다. 그는 포물선의 면적을 구하기 위해 포물선을 수직선으로 나눈 뒤 포물선과 직선으로 둘러싸인 삼각형과 사다리꼴의 숫자를 늘려 무한히 많은 도형으로 만들어 계산했다. 도형이 증가할수록 포물선에 둘러싸인 면적에 접근하므로 적분과 유사한 방법인 것이다. 포물선이나 타원의 면적을 삼각형과 사다리꼴로 표현한다면 쉽게 면적을 계산할 수 있는 방법을 사용한 것이다. 또 그는 구(sphere)의 부피는 같은 높이의 원기둥의 부피에 대해 3분의 2이라는 것을 밝혀냈다. 


구에 외접하는 원기둥


그림에서와 같이 구에 외접하는 원기둥의 밑변은 반지름이 r인 원이고, 높이는 2r이므로 원기둥의 부피는 다음과 같다. 



그리고 반지름 r인 구의 부피는 다음과 같다. 



이를 비교하면 구의 부피와 같은 높이를 갖는 원기둥 부피와의 관계를 알 수 있다. 아르키메데스는 그의 저서 『에라토스테네스에게 보내는 공학적 정리의 방법론』에서 구를 비롯해 다양한 도형을 무한소 양으로 쪼갠 다음 전체 양을 더하는 방식으로 도형의 면적, 부피 등을 구했다. 아르키메데스 이후 상당히 오랫동안 진전이 없다가 르네상스 시기에 이르러 이탈리아의 수학자인 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598~1647년)가 카발리에리의 원리를 발견하면서 큰 진전이 있었다. 이 원리는 근대 미적분이 정립되기 전이었기 때문에 매우 혁명적이었으며, 각종 입체의 부피를 구할 수 있게 되었다. 최초로 부피를 잘게 쪼개어 적분하는 방법을 사용했고 적분학 발전에 크게 기여했다.


프랑스의 철학자인 르네 데카르트(René Descartes, 1596~1650년)는 해석기하학의 창시자로 처음으로 좌표 개념을 도입했다. 이를 통해 그동안 독립적으로 다뤘던 대수론과 기하학을 체계적으로 융합시킬 수 있었다. 이러한 업적은 이후 뉴턴과 라이프니츠가 제안하고 발전시킨 미적분학의 근간이 되었다. 1675년에 라이프니츠는 무수히 많은 도형을 그려 면적을 구한 아이디어에 착안해 y = f(x) 곡선 아래의 면적을 계산하는 적분 계산법을 도입했다. 


19세기에 이르러 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy, 1789~1857년)는 극한 및 연속성에 관한 정의 등으로 미적분에 대한 개념을 정립했다. 독일의 수학자인 게오르크 프리드리히 베른하르트 리만(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826~1866년)은 연속 함수 f(x)의 적분은 해당 구간에서 리만 합의 극한과 같다는 점을 증명해 리만 적분이라는 수학 용어를 남겼다. 


프랑스 수학자 앙리 레옹 르베그(Henri Léon Lebesgue, 1875~1941년)는 1902년 낭시 대학교 박사 학위 논문에서 적분 이론을 완성하는데 바로 n차원의 일반적인 함수에 대해 리만 적분을 확장한 르베그 적분이다. 리만 적분은 적분 영역을 세로로 나누지만 르베그 적분은 가로로 나누어 계산한다. 르베그 적분은 극한 개념과 잘 어울리므로 확률론이나 해석학 분야에 많이 사용된다. 이와 같이 적분은 최근에 발전한 학문으로 수학의 역사 중에서 비교적 짧은 역사를 갖고 있다. 


부정적분(원시함수)은 어떤 함수 가 주어졌을 때, 인 함수 를 말한다. 그러므로 의 부정적분은 로 나타낼 수 있으며 부정적분에는 적분상수 C가 붙는다. 함수 을 미분하면 이며, 의 부정적분은 +C가 된다. 이와 같이 부정적분은 미분의 역연산으로 다음과 같이 표현된다. 



정적분(definite integral)은 함수 가 폐구간 [a, b]에서 연속일 때 를 의 a에서 b까지의 정적분이라 하며 로 나타낸다. 따라서 정적분은 구간을 무한히 작게 되도록 분할한 구간의 길이와 그 구간에서의 함수의 대푯값을 곱해 합한 값이 일정한 값에 가까워지는 극한값을 말한다. 


a에서 b까지 함수의 정적분


정적분은 정해진 구간이 있지만 부정적분은 정해진 구간이 없다. 따라서 부정적분을 알면 정적분을 간단히 구할 수 있으며, 부정적분과 정적분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립된다.  

 

 


미적분은 수학 자체로서의 의미도 있지만, 비행기 속도의 정의뿐만 아니라 속도와 거리를 구하는 데 활용된다. 또 실생활에서 일어나는 사회 현상을 예측하는 데에도 광범위하게 활용된다. 따라서 미적분학을 대학 입시만을 위해 배우는 것이 아니라는 것은 명백하다. 



미적분의 응용

속력(speed)은 스칼라 양으로 전체 거리 S를 이동하는 데 걸린 시간으로 나눈 값을 말한다.



평균 속도나 평균 속력은 순간순간에 대한 상세한 정보를 제공하지는 않는다. 순간 속도는 어느 특정한 시각 t의 순간에서의 속도를 말한다. 비행기가 날아갈 때 순간 속도는 다음과 같이 미분으로 표현할 수 있다.

 


특정 순간에 얼마나 빨리 움직이는지는 미분의 정의가 나온 1600년대 후반이 되어서야 알 수 있었다. 일반적으로 속도라는 단어는 순간 속도를 의미하며 미분이 응용된다.


미분은 항공 분야에서 광범위하게 활용되고 있지만 특히 두 곡선 사이의 연속성(continuity)을 판별할 때에도 활용된다. 예를 들어 항공기 동체를 비롯해 날개의 표면이 매끄럽게 연결되어 있지 않으면 표면이 거칠기 때문에 항력이 증가되어 연료가 많이 소모된다. 이를 방지하기 위해 미분을 활용해 연속성을 만족하는지를 판단해 매끈한 표면으로 제작할 수 있다. 


항공기 외형에 응용되는 미분


또 다른 예로 휴대전화에서 컴퓨터 그래픽으로 그린 그림을 손으로 마음대로 확대하거나 줄여도 깨지지 않는 것을 경험한 적이 있을 것이다. 이것은 그림을 수식으로 변환하고 확대할 때 수식을 미분함으로써 끊어지는 부분을 어떻게 연결해야 하는지 예측하기 때문이다. 여기에도 변화량을 예측하는 미분이라는 수학이 숨어 있는 것이다. 이렇게 그림을 여러 번 그리지 않고 크기를 확대하거나 축소할 수 있는 기술을 개발했다. 그림을 확대하거나 축소하는 경우뿐만 아니라 동영상을 제작할 때 비용과 시간을 모두 절약할 수 있다. 


어떤 함수의 미분이란 앞에서 언급했듯이 그 함수의 도함수를 도출해 내는 것을 말한다. 도함수는 함수 y=f(x)를 미분해 얻은 함수 f'(x)를 의미한다. 미분 공식을 이용하면 다항함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수 등 다양한 함수들의 도함수를 비교적 쉽게 구할 수 있다. 자연과 사회 등에서 발생되는 현상들은 함수의 일차 또는 이차 도함수 등으로 이루어진 미분 방정식으로 주로 표현되며 미분 방정식을 적분해 실제적으로 어떤 값을 갖는지 예측 가능하다. 


                

T-50의 동체 단면적


적분은 다양한 분야에서 넓이와 부피를 계산하는 데 사용된다. 넓이는 넓이 요소를 더한 후 세분해 극한으로 표현한 정적분으로 나타낼 수 있고 부피도 마찬가지로 부피 요소를 더한 후 세분해 극한으로 표현한 정적분으로 나타낼 수 있다. 그림에서와 같이 비행기 동체 전후 방향에서의 단면적은 항력 성능을 결정하는 데 아주 중요하다. 또 적분은 비행기의 항속 거리와 항속 시간을 나타내는 공식에 적용되므로 이동한 거리나 시간을 일일이 더할 필요 없이 간단히 계산할 수 있다. 이 공식은 비연료 소모량이 작고 연료를 많이 탑재할수록 먼 거리를 오랫동안 비행하는 것으로 표현될 것이다. 



항법 장치의 원리

비행기나 선박과 같이 이동하는 물체가 목적지까지 정확하고 안전하게 이동하기 위해서는 연속적으로 자신의 현재 위치를 측정하면서 목적지까지의 방향, 거리, 소요시간 등을 알아야 한다. 항법(navigation)은 항공기를 정확하고 안전하게 목적지까지 도달시키기 위해 현재의 위치, 거리, 방향, 소요 시간 등과 같은 진로에 대한 정보를 제공하는 기술을 말한다. 공중항법에서 가장 중요한 3가지 업무는 항공기 자신의 현재 위치를 파악하고, 목적지를 향하기 위한 비행의 방향을 결정하며, 도착 예정 시간을 산출하는 것이라 할 수 있다.


그중에서 전자항법(Electronic Navigation)은 지상 무선국이나 위성에서 송신하는 전파 또는 비행기에 탑재된 전자시스템을 이용해 현재의 위치, 방위, 거리 등을 파악해 운항하는 방식을 말한다. 전자항법에는 전파항법(무선항법시스템), 자립항법시스템, GPS, 계기착륙시스템(ILS) 등이 있다. 


사인법칙


항법장치의 원리인 삼각법(trigonometry)은 수학의 한 분야로 삼각함수와 삼각형 변과 각 사이의 양적인 관계를 이용해 각과 길이와의 관계를 구하는 것이다. 조금 심도 있는 삼각법인 사인 법칙은 삼각형에서 성립하는 각의 사인 함수와 변의 관계를 나타내는 법칙이다. 사인 법칙은 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 정면에 마주보는 변의 길이를 각각 a, b, c라고 하고 한 꼭지점(A)에서 대변에 수직선을 내리고 수직선의 길이를 h라고 하면 이므로 이 성립된다는 것이다. 따라서 로 쓸 수 있으며, 이것은 어떤 삼각형의 한 변의 길이와 두 각의 크기를 알면 다른 두 변의 길이를 구할 수 있다는 것을 말해 준다. 항공기의 방향과 거리를 계산하는 항법장치의 원리로 사용된다.


1950년대 처음으로 도입된 VOR(VHF Omnidirectional Range)은 가시 거리 직진성을 이용한 단거리 항법 시설로 초단파 전방향 무선표식이라 한다. 항법 장비인 DME(Distance Measuring Equipment)는 초고주파(UHF)의 직진성을 이용한 거리측정장치다. 이것은 항공기의 질문기와 지상국의 응답기 사이에 신호의 왕복 시간을 계산해 거리를 측정한다.

 

항공기 방향과 직선 거리 계산


항공기가 VOR로 방향을 알고 DME를 통해 경사 거리(slant distance)를 파악하고 이를 통해 직선 거리를 알고 있다면 항공기의 위치를 알 수 있으며, 항공기가 지상점(waypoint, 사전에 결정된 지형적인 위치)까지 갈 방향과 직선 거리를 삼각함수를 통해 구할 수 있다. 사인법칙 에서 각도 C는 60도이고, 현재 항공기와 VOR/DME 지상국 사이의 직선 거리 a를 알고 있고, 지상점과 VOR/DME 지상국의 좌표로부터 두 지점 사이의 직선 거리 b를 알 수 있다. 그리고 각도 A=180-B-C 이므로 미지수 각도 B와 거리 c를 사인법칙 방정식 2개로 계산할 수 있다. 따라서 항공기는 지상점 또는 목적지까지 가기 위한 방향 B와 직선 거리 c를 알 수 있게 된다. 이것이 바로 삼각함수를 이용한 항법장치의 원리다. 



항공기의 필수 장치 관성항법시스템(INS)

항공기가 원하는 목적지에 도달하기 위해서는 항공기의 자세, 속도 또는 가속도를 산출하고, 항공기 자체의 속도와 고도, 수평 위치를 계산해 알고 있어야 한다. 항공기의 자동조종장치는 비행기 자세, 속도, 고도 등과 같은 정보를 센서가 감지해 항법 컴퓨터를 통해 원하는 목적지를 향해 날개와 꼬리의 조종면을 조종하는 신호를 보낸다. 이를 위해 비행기의 항법 컴퓨터에는 계속 데이터가 공급돼야 하므로 출발 위치의 좌표를 기준으로 프로그램화된 INS와 GPS를 통해 비행기의 위치를 확인할 뿐만 아니라 움직임을 계속 추적한다.


INS는 자립항법시스템(Self Contained Navigation System)의 하나로 위성이나 지표면의 레이다 등과 같은 외부 지원 시설의 도움 없이 비행기에 탑재된 자체 장비만으로 항법 정보를 얻을 수 있는 시스템이다. 항공기를 비롯해 미사일, 우주선, 선박, 자동차, 무인기는 물론이고 정밀 측량, 해저 탐사, 위성 발사체 등에도 적용할 수 있다.


INS는 제2차 세계 대전 당시 독일의 V2 로켓에 사용된 것을 시작으로 장거리 미사일에 탑재될 용도로 개발되었다. 더욱 개량된 INS가 개발되고 유용성이 입증되어 1969년 보잉 747 점보 여객기에 도입된 후 10년 이상 장거리 여객기에 기본 장비로 사용되었다. 1980년대까지도 항공기를 비롯해 아폴로 우주선과 미사일 등 장거리용 항법시스템에는 거의 INS가 사용되었다. 레이저 기반 INS가 개발되어 가격도 저렴해지고 정확도도 더욱 향상되었다.


INS는 비행기에 탑재된 관성측정장치(IMU, Inertial Measurement Unit)를 바탕으로 비행기 진행 방향을 탐지할 뿐만 아니라 가속도를 검출해 이동한 거리를 구함으로써 비행 궤적을 추적, 기록해 자신의 항법 정보를 도출한다. 여기서 IMU는 비행기의 자세 및 움직임을 측정하는 장치로 각속도(rad/s, 회전량)를 측정하는 3차원 자이로(gyro, 자이로스코프의 준말)와 신뢰할 수 있는 가속도(m/s2)를 측정하기 위한 3축 가속도계로 구성된다. 기존의 INS에는 자이로 안정 플랫폼, 전자 컴퓨터 및 제어/디스플레이 패널 등 세 가지로 구성된다. 자이로 플랫폼에서 서로 수직인 3축을 따라 측정된 가속도는 출발 조건과 관련된 속도 및 변위 데이터를 얻기 위해 컴퓨터에서 처리된다. 플랫폼은 일반적으로 이륙하기 전에 안정화되며, 항공기가 유도로로 이동하기 전에 위치 및 속도 0이 출발 데이터다.


이러한 INS는 날씨, 지형, 시계, 해면 상태, 전파 방해 등 외부 조건의 영향을 받지 않지만 자이로의 특성상 고위도 지역을 비행할 때 국지 수평 유지가 어렵고, 장거리 비행 중에는 오차가 누적되는 단점이 있다. 또 극지방을 비행할 때 경도 값을 계산하지 못하는 문제점도 있다. 


속도, 위치, 자세 등 항법 정보를 계산하는 INS


INS를 나타낸 개략도를 살펴보면 IMU, 센서 구동 및 신호 처리 회로, 항법 컴퓨터로 구성된다. IMU에서 측정된 각속도와 가속도는 항법 방정식을 통해 속도, 자세, 수평 위치, 고도 등을 나타낼 수 있다.


자이로는 시간당 몇 도 회전했는지 각속도를 연속적으로 측정하지만 적분 오차, 지구 자전으로 인한 오차 등이 있다. 가속도계는 불연속적으로 가속도를 측정하지만 자이로에 비해 빠르게 반응하기 때문에 정확하다. 


목적지까지 지상점이 3개인 경우 축적된 INS 오차


INS는 자이로의 기계적 특성 때문에 시간이 지남에 따라 오차가 누적되며 이를 편류 오차(drift error)라 한다. 그림에서 지상점에 표시된 원은 실제로는 구(sphere)로 표시해야 하지만 고도 z축 오차를 무시하고 x축과 y축 오차만을 표시한 것이다. 반지름은 오차의 값으로 주어지는데 대개 1시간에 약 1해리(nautical mile, 1.852킬로미터) 크기로, 2시간 비행한 후에는 누적된 편류 오차가 약 2해리(3.7킬로미터) 발생한다.


누적된 편류 오차를 줄이기 위해서는 특정한 시간마다 보정해 다시 재조정해야 한다. 비행 계획을 작성할 때 하나 이상의 지상점을 INS 재조정 체크 포인트로 설정한다. 보정은 경도와 위도 고도를 아는 지정학적 지점을 날아가면서 수행되어야 한다. 그래서 특정한 산이나 언덕, 두 개의 강이 합쳐진 곳 등 쉽게 인식해 정확하게 지나칠 수 있는 지형지물을 랜드마크로 설정한다. 조종사는 그 지상점을 정확히 지나가는 순간에 INS에서 편류 오차를 0으로 재조정해야 하며, 일반적으로 GPS를 통해 보정한다. 또 체크 포인트로 TACAN 또는 VOR 기지국과 같은 항법지원시설을 사용할 수 있다. INS 재조정 횟수는 예상 비행 시간과 INS 편류 속도(drift rate)에 따라 결정된다. 편류 속도가 시간당 1해리를 갖는 경우 대개 1~2시간에 1번 재조정한다.


초기 위치는 GPS로부터 자동으로 획득되며, 비행 중 INS 위치는 수동으로 수정할 필요 없이 알려진 랜드마크로부터 항상 GPS로 업데이트되어 편류 오차를 0으로 줄인다. 모든 INS/GPS 탑재 항공기는 재밍(jamming) 등으로 GPS를 사용할 수 없는 경우 INS만으로 수동 INS 업데이트 절차를 통해 작동 할 수 있다. INS/GPS 시스템은 대개 수동 INS 업데이트가 필요하지 않지만 어떤 특별한 상황에서는 수동 INS 업데이트가 필요할 수 있다. 이제는 여객기뿐만 아니라 전투기 등도 기본 항법 시스템으로 INS를 사용하는 대신 GPS를 사용하고 있다. 


가속도계의 원리 


가속도계의 원리를 설명하기 위해 종래에 사용되던 플랫폼 기계식 INS의 개략도를 나타낸 그림이다. 가속도계는 스프링으로 연결된 질량과 직선 이동 측정 장치가 있으며 비행기 본체의 고정 구조물에 고정되어 있다. 비행기의 속도와 고도에 변화가 생기면 관성으로 인해 움직임에 변화가 생기고, 이 힘에 의해 생긴 스프링의 변위량을 연속적으로 측정하면 가해진 힘의 크기를 측정할 수 있다.


뉴턴의 제1법칙인 관성의 법칙과 제2법칙인 가속도의 법칙을 통해 가속도는 힘과 비례 관계에 있으므로 측정한 힘으로부터 구할 수 있다. 이와 같이 물체가 지닌 관성이라는 성질을 이용한다고 해 INS라는 명칭이 붙여진 것이다. 항공기 안의 3방향(x, y, z)의 가속도계는 3차원 공간상에서 가해지는 변화를 감지하므로 항공기의 모든 움직임을 알 수 있다. 이러한 가속도를 기반으로 현재의 위도, 고도, 경도 등을 계산해 항공기가 자동 조종될 수 있는 데이터를 제공한다. IMU의 가속도계는 뉴턴의 제2법칙으로 설명되는 장치로 가속될 때 스프링으로 연결된 질량이 반대로 야기되는 힘을 계측해 가속도를 측정한다. 



3차원에서 항공기의 위치를 구하기 위해서는 서로 직교하는 3방향의 가속도(x, y, z)를 모두 측정해야 한다. 수평면(x, y)상의 가속도를 적분해 속도를 구하고, 다시 속도를 적분해 얻어지는 위치 벡터의 합으로부터 출발점부터의 수평면상의 위치를 구하며, 이와 별도로 상하 방향(z)의 가속도를 2회 적분해서 고도를 얻는다. 가속도계는 1초에 수십 번 이상 순간순간 항공기의 가속도를 측정하고, 측정된 가속도를 컴퓨터로 연산한다. 이러한 연산의 핵심은 가속도를 검출한 후 적분해 속도를 구하고, 다시 속도를 적분해 이동 거리를 구하는 것이다.


이러한 플랫폼 시스템의 기계식 INS는 크고 무거우며 구조가 복잡하므로 거의 사용하지 않는다. 최근 거의 모든 여객기는 작고 가벼우며 더 정확한 관성참조시스템(IRS, Inertial Reference System)을 장착하고 있다. 



최신 INS인 관성참조시스템

관성참조시스템(IRS)은 한마디로 최신의 관성항법시스템(INS)을 말한다. 이는 피치, 롤 및 요잉 축에 대한 각속도를 감지하기 위해 기존의 INS 기계식 속도 자이로 대신 링 레이저 자이로(laser gyros)를 사용한다. 관성 센서(자이로 및 가속도계)는 짐벌(gimbal)을 사용하지 않고 기체에 직접 부착되어 있어 움직이는 부분이 없다. 이를 스트랩다운(strapdown) 방식의 관성참조시스템이라 하며 비행기의 직선 운동 및 회전 운동을 감지한다. 링 레이저 자이로는 두 개의 레이저 광선이 서로 반대 방향으로 삼각형 또는 사각형 회로에 전송된다. 비행기의 회전 방향에 따라 두 광선이 도달하는 시간에 차이가 나는 원리를 이용해 각가속도를 구한다. 이러한 자이로는 세차 운동 및 기타 기계 자이로 결점을 제거하며, 고체 가속도계를 각 운동 평면에 하나씩 3개를 사용하면 정확도가 향상된다. 자이로와 가속도계를 통해 획득한 관성 항법 데이터와 관성 비행 제어 데이터를 항공기의 자세와 위치를 ​​지속적으로 계산할 수 있도록 여러 시스템에 입력된다. 


관성참조시스템은 종전의 INS와 마찬가지로 육상 항법 시설이나 송신기에서 입력되는 무선 신호가 필요 없는 자체 내장 시스템이다. 여기에 사용되는 자이로는 구조가 복잡하고 생산 가격이 높은 기계식 자이로에서 회전 시 빛의 성질을 이용하는 광섬유 자이로(Fiber optic gyro)와 링 레이저 자이로로 발전했다. 최근에는 대부분이 휴대기기에 사용되는 저성능 마이크로 자이로인 MEMS 자이로가 개발되었다. 이러한 MEMS 자이로와 가속도계는 이동하는 항공기의 회전 자세와 병진 위치(일반적으로 위도, 경도 및 고도) 변화를 결정하는 관성 센서다. 관성참조장치(IRU, Inertial Reference Unit)에는 스트랩다운 방식으로 비행기의 3축에 따라 장착된 3개의 레이저 자이로와 3개의 가속도계가 사용된다. 비행기의 피치, 롤 및 요잉 축에 대한 각속도와 선형 가속도를 감지하고 계산한다. 이러한 6개의 센서로 자세, 가속도, 각속도, 속도, 진방향 및 자기 방향(true and magnetic heading), 위치 데이터, 절대 고도 및 바람 데이터 신호를 제공한다. 신호는 비행 관리 컴퓨터 시스템, 디지털 비행 제어 시스템, 전자 비행 계기 시스템, 자동 스로틀, VHF 항행 시스템 및 조종사 계기 등을 포함한 다른 시스템에 제공된다.


이와 같이 작고 새로운 스트랩다운 방식 IRS는 고체 센서와 첨단 실시간 컴퓨터 알고리즘을 사용해 성능이 크게 향상되어 널리 사용된다. 그러나 스트랩다운 방식의 성능이 좋지 않은 경우, 오래되고 큰 짐벌 시스템이 일부 사용되기도 한다.


스트랩다운 방식의 IRS


스트랩다운 방식 IRS의 플로 차트를 나타낸 그림이다. IRS는 항공기의 직선 운동 및 회전 운동을 검출하는 관성 센서를 직접 기체에 부착한다. 이 장치는 기축에 따라 검출되는 가속도를 분해하고 이동체 좌표로 변환시키기 위해 자이로의 각속도 정보를 이용하며, 항법 컴퓨터를 통해 적분해 속도와 위치 계산을 수행한다. 이와 같이 관성 센서에 의해 얻은 정보를 항법 데이터로 컴퓨터 처리해 조종사에게 필요한 항공기의 현재 위치를 비롯해 비행 진로, 대지 속도, 편류 수정각, 풍향과 풍속, 경로점의 위치, 목적지까지의 거리 및 도착 시간 등과 같은 정보를 구할 수 있다.


측정한 순간의 비행기의 가속도가 라면 그때의 속도 는  이란 간단한 적분 식으로 구하고, 이때 속도는 시간 에서  까지 평균 속도를 의미한다. 센서가 비행기 속도를 측정하는 데 드는 시간인 미소 시간 동안 이동한 거리 L은 다음과 같은 적분 식으로 나타낼 수 있다.


3축 방향에 대해 미소 시간에 대한 이동 거리 L을 구하고 이것을 모두 더해 비행기의 총 비행 거리를 계산할 수 있다. 또 매 순간마다 구한 거리의 벡터 합성을 통해 최종 위치까지 구할 수 있다.


기존의 VOR/DME와 같이 무선 전파를 항법에 사용한 전파항법시스템은 태평양이나 대서양 등에 지상국을 설치하기 어렵고, 종래의 INS는 누적된 편류 오차를 지상국을 통해 보정해야 하는 문제점이 있다. 최신의 IRS도 적분이 계속 반복되기 때문에 시간이 지남에 따라 오차 범위가 증가하게 된다. 이를 보완하기 위해 혁신적인 범지구 위성항법시스템(GNSS, Global Navigation Satellite System)이 항공기에 사용되기 시작했다. 이러한 항법시스템은 사용자 수에 제한이 없을 뿐만 아니라 전 세계 연속적으로 정확한 3차원 항법 정보를 제공받을 수 있는 장점이 있다. 범지구 위성항법시스템에는 미국 주도로 1973년에 개발하기 시작한 위성항법시스템(Global Positioning System)을 비롯해 러시아의 위성항법시스템인 글로나스(GLONASS, GLobal Orbiting NAvigation Satellite System), 유럽 연합의 최초 민간용 위성항법시스템인 갈릴레오(GALILEO, 2020년 완전 가동 예정) 등이 있다.


1990년대에 본격적으로 도입된 GPS는 지구 궤도상에 배치된 인공위성에서 쏘는 신호를 받아 현재 위치를 알아내는 장치로 실시간 정보를 주고받을 수 있기 때문에 오차 범위를 수 미터로 크게 감소시켰다. 기존의 항법시스템에 비해 일대 혁신을 가져온 GPS는 항공기를 비롯해 자동차들까지 사용하고 있다. GPS는 크게 위성 부분, 지상 통제소와 사용자의 수신기 등으로 구분된다. GPS 위성은 지구 경도 상에 60도 간격으로 6개 궤도에 각 궤도마다 4개씩 불규칙적으로 총 24개가 배치된다. 이러한 위성은 지표 상공 2만 200킬로미터 고도에서 11시간 58분 주기로 지구 둘레를 회전하며, 수명은 7.5년 정도다.


IRS는 시간이 지남에 따라 오차가 누적되지 않는 다른 항법시스템과 같이 사용하는 하이브리드 방식을 이용해 서로의 결점을 보완하고 있다. 일반적으로 장거리 항공기의 IRS는 위성 GPS와 결합해 장착된다. IRS는 매우 정확한 GPS와 결합하면 정확한 내비게이션 시스템이 될 수 있다. GPS는 IRS를 초기화하거나 오류 수정에 사용될 수 있도록 IRS 컴퓨터에 데이터를 제공한다. 그러면 IRS는 GPS 시스템의 서비스 중단 및 부정확한 고도 문제를 해결할 수 있다. 왜냐하면 IRS는 지속적으로 작동하며 외부 장치가 없어도 가동하는 자립항법시스템이기 때문이다. 이러한 결합에 의해 IRS는 수 미터 이내의 더 정확한 오차 보정으로 인해 원하는 목적지에 정확하고 안전하게 도달할 수 있게 되었다.



더 큰 수학의 세계로 날아가다

미분과 적분은 이미 우리 실생활 속에 파고들어 광범위하게 적용되고 있다. 인구 변화 추이는 미분 방정식으로 예측된다. 컴퓨터에 사진을 저장할 때 JPG로 압축한 파일은 BMP로 압축한 파일보다 그 크기가 작은데 이는 미분을 활용해 급격하게 변하는 부분을 버리기 때문이다. 포탄을 공중으로 발사했을 때 어느 높이까지 올라가서 어느 곳에 떨어지는지도 미분과 적분으로 계산할 수 있다. 적분은 비행 속도 및 거리 계산 외에도 비행기의 표면적이나 체적 계산에도 활용된다. 다양한 미적분의 응용 분야를 이해하고 수학이 비행기에서 어떻게 적용되는지 살펴보면서 더 넓은 수학의 세계를 탐구하기를 바란다.




저자 장조원

공군 사관 학교 항공 우주 공학과를 졸업하고 서울 대학교 대학원에서 석사 학위를, 한국 과학 기술원(KAIST)에서 항공 우주 공학 박사 학위를 받았다. 공군 사관 학교 항공 우주 공학과 부교수, 미국 메릴랜드 대학교 방문 학자, 캐나다 라이어슨 대학교 겸임 교수 등을 지냈다. 한국 항공 운항 학회 부회장, 한국 가시화 정보 학회 편집 이사, 한국 항공 우주 산학 위원회 공력 해석 및 설계 분과 위원장, 대한민국 공군 발전 협회 연구 위원 등으로 활동하고 있다. 한국 항공 우주 학회 학술상, 현대자동차그룹 우수 논문상, 한국 항공 대학교 최우수 교수상, 교원 업적 종합 부문 최우수상, 한국 항공 운항 학회 우수 논문상, 한국 가시화 정보 학회 우수 논문상 등 다수의 상을 수상했다. 저서로는 항공 우주 과학을 일반인도 읽을 수 있도록 쉽게 풀어 쓴 『하늘에 도전하다』와 『비행의 시대』 등이 있다. 현재 한국 항공 대학교 항공 운항학과 교수, 공군 사관 학교 명예 교수로 있으며, 곤충이나 새와 같은 생체 모방 비행체, 경계층 흐름 제어, 유동 가시화 등을 비롯한 비정상 공기 역학 분야 연구를 활발히 수행하고 있다.


저서

『비행의 시대』

하늘을 향한 끝없는 열정을 한 권에 담아낸 책으로, 항공 우주 분야 키워드 77개를 통해 인류가 어떻게 하늘을 바꿔 왔는지를 보여 준다. 최신 정보와 원리, 다양한 비행기 기종과 일화를 핵심 단어별로 분류해 빠짐없이 소개하는 본격적인 항공 우주 가이드북이다.


『하늘에 도전하다』

항공우주과학에 관심이 있는 학생과 일반인을 위한 책으로, 비행기라는 개념의 탄생부터 스텔스 기술이 적용된 최첨단 전투기에 이르기까지 비행기의 중요한 발달 과정을 일목요연하게 살필 수 있도록 구성했다. 그리고 그 발달의 배경이 되는 과학 이론을 함께 담고 있다.


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