뫼비우스의 띠 : 수학과 예술을 잇는 마법의 고리

The Möbius Strip

뫼비우스의 띠

수학과 예술을 잇는 마법의 고리

2012년 상반기 우수과학도서

세상 곳곳에 파고든 뫼비우스의 띠

끝없는 도형의 마술은 끝나지 않는다!

기묘하고 위대한 도형의 모든 것

기이하고 아름다우면서도 놀랍다. -《사이언티픽 아메리칸》

버크민스터 풀러는 생각의 스케일이 컸고, 작가 아서 클라크는 생각의 스케일이 크지만, 픽오버는 이 둘을 뛰어넘었다. -《와이어드》

픽오버는 컴퓨터, 예술 및 사고의 한계를 확장시키는 책을 거의 매년 한 권씩 출간하고 있다. -《로스앤젤레스 타임스》

20세기의 안톤 판 레이우엔훅. -《옴니》

바깥쪽과 안쪽을 구별할 수 없는 신기한 도형, ‘뫼비우스의 띠’는 누구에게나 익숙할 만큼 잘 알려진 도형이다. 수학 수업 시간 이 도형에 대해 배웠거나, 조세희의 소설 ｢뫼비우스의 띠｣, 젝스키스의 노래 ｢뫼비우스의 띠｣, 조규찬의 노래 ｢뫼비우스의 띠｣, 만화 ｢추리게임 뫼비우스의 띠｣, 드라마 ｢뫼비우스｣ 등 어떤 식으로든 한 번은 듣고 보고 접해 보았을 것이다.

이번에 (주)사이언스북스에서 출간한 클리퍼드 픽오버(Clifford A. Pickover)의 「뫼비우스의 띠」는 제목 그대로 ‘뫼비우스의 띠’에 관한 모든 것을 담은 책이다. 뫼비우스의 띠, 이 기이한 도형은 재활용 로고를 비롯해 대우 건설, SK 텔레콤 등 국내 기업의 로고로 사용될 만큼 이미 우리 생활 깊숙이 파고들었다. 문학, 영화, 음악, 디자인, 패션 등 예술의 영역에도, 각종 기술 특허에도 자주 등장한다. 이 책에서는 뫼비우스의 띠를 발견한 아우구스트 페르디난트 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)의 일생부터 ‘뫼비우스의 띠’가 무엇인지, 이것을 활용한 예가 어떤 것이 있는지까지 종교, 예술, 특허 기술, 수학을 넘나드는 신기한 도형을 파헤쳤다.

저자 클리퍼드 픽오버는 프랭클린 앤드 마셜 대학을 졸업하고 예일 대학교에서 분자 생체 물리학 및 생화학 박사 학위를 받았다. 예술, 과학, 수학 및 이질적으로 보이는 여러 탐구 영역을 융합해 의식의 지평을 확장시키는 새로운 길을 개척하는 데 관심이 많은 그는 다양한 주제를 다룬 창의적인 과학책을 쓰는 베스트셀러 작가로 유명하다. 그의 저서들은 한국어를 비롯해 여러 언어로 번역 출간되었으며, 대표작으로는  「 우주의 고독(The Science of Aliens) 」,  「 신의 배틀(The Loom of God)」 ,  「 천국의 별(The Stars of Heaven)」,  「 하이퍼 스페이스(Surfing Through Hyperspace)」,  「 시간여행 가이드(Time: A Traveler’s Guide)」 등 40종이 있다. 《컴퓨터스 앤드 그래픽스(Computers and Graphics)》의 편집 위원이며 《오디세이(Odyssey)》, 《레오나르도(Leonardo)》, 《아일럼(YLEM)》의 편집 자문 위원이며, IBM T. J 왓슨 연구소에서 일하고 있다. 미국 물리학회가 후원하는 물리학 사진 공모전에서 최우수상을 받았고, 발명 업적에 관한 상을 40개, 연구 업적에 관한 상을 3개 받았다. 또한 컴퓨터 관련 독창적인 특허를 50개 이상 보유하고 있다.

완벽주의자 뫼비우스

이 책은 수학자 뫼비우스를 소개하는 책이기도 하다. 뫼비우스의 띠가 광범위하게 알려져 있는 것에 비해 뫼비우스의 띠의 창시자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 삶과 업적은 그리 잘 알려져 있지 않다. 클리퍼드 픽오버는 이 19세기 수학자의 족보(종교 개혁자 마르틴 루터의 피가 섞여 있기도 하다.)에서부터 그의 다양한 논문까지 방대한 문헌을 뒤적이며 이 괴팍한 수학자의 다채로웠던 삶을 생생하게 복원해 낸다. 심지어 조금은 엉뚱한 뛰어난 신경 생리학자였던 뫼비우스의 손자, 파울 뫼비우스(Paul Möbius)가 할아버지의 무덤에서 발굴한 아우구스트 뫼비우스의 두개골 사진도 실었다. ‘수학 기관’이라고 불리던 왼쪽 전두 안와 돌출부(fronto-orbital bump)가 아우구스트 뫼비우스는 특별히 컸을 것이라는 파울 뫼비우스의 특이한 생각 때문에, 유골 발굴 허가를 얻어서 할아버지의 두개골을 요모조모 관찰했다고 한다.

파울 뫼비우스를 비롯해 아이슬란드와 스칸디나비아 문학에 정통한 세계적인 전문가인 아우구스트 테오도르 뫼비우스, 프랑크푸르트 대학교의 식물학 교수이자 프랑크푸르트 식물원의 총감독 마르틴 아우구스트 뫼비우스, 율리우스 막스밀리안 대학교의 전통 고생물학 교수 한스 파울 베르너 뫼비우스 등 뫼비우스의 가계도에는 위대한 업적을 남긴 사람이 많았다. 그중에서도 단연 아우구스트 뫼비우스가 돋보인다.

뫼비우스는 완벽주의자였다. 그는 세심한 것들에 무척 신경을 썼는데, 그런 성격은 일정 관리와 건망증 방지에 도움을 주는 다양한 대책들을 강구한 데서 잘 드러난다. 예를 들면 산책을 나가기 전에 그는 독일어 공식 ‘3S와 Gut’을 암기하곤 했다. 이것은 지니고 다녀야 할 물건들, Schlüssel(열쇠), Schirm(우산), Sacktuch(손수건), Geld(돈), Uhr(시계), Taschenbuch(공책)의 첫 글자들이었다. 뫼비우스의 일생은 규칙성 그 자체였고, 매일 밤 과학 일기를 썼다.

이런 성품이 바탕이 되어 뫼비우스는 완성도 높은 연구 결과들을 발표할 수 있었다. 그 예로는 ‘뫼비우스 그물’, ‘뫼비우스 함수’, ‘뫼비우스 통계’, ‘뫼비우스 변환’, ‘뫼비우스 반전 공식’ 등 수학의 묵직한 주제들이 있다.

그는 서두르지 않고 천천히 연구했다. 주변 물건들을 제자리에 정돈하고 문을 걸어 잠근 채. 그런 준비를 마친 후 연구를 완성시켜서 발표했다. -리처드 발처(Richard Baltzer,  「 아우구스트 뫼비우스 총서」의 편집자)

장난감에서 첨단 기계까지, 특허계의 만물상

뫼비우스의 띠는 수학적 도형에 그치지 않고 실용성을 띠고 있다. 바깥쪽과 안쪽을 구별할 수 없는 특징과 바깥쪽을 따라 선을 그으면 안으로 연결되며 무한 반복되는 특징 때문에 이를 응용한 특허가 많이 있다. 픽오버는 미국 특허청에 등록된 수백만 개의 특허 중에서 ‘뫼비우스의 띠’가 사용된 특허 수백 개를 골라 특허 제출용 설계 도면들과 함께 흥미진진하게 펼쳐 보인다. 뫼비우스의 띠가 창의적 발명가를 얼마나 강력하게 매료시켰는지 생생하게 보여 주는 증거들일 것이다. ‘신발 끈 묶는 법’처럼 간단하면서도 우리 생활에서 유용하게 활용할 수 있는 특허도 있고, ‘부분적으로 묶이는 수술용 매듭’처럼 의료 현장에서 쓰이는 특허도 있다.

본문에 소개된 특허 중에서도 특기할 만한 것으로 가장 초창기의 특허 중 하나로 양쪽 ‘면’에 소리를 녹음할 수 있는 뫼비우스의 띠 테이프 특허가 있다. 이와 유사한 개념이 테이프 녹음기에 응용되어 보통의 테이프보다 재생 시간이 2배나 긴 뒤틀린 형태의 테이프가 나왔다. 뫼비우스 특허는 1940년대 후반과 1950년대 초반에 본격적으로 나오기 시작했는데, 그 계기는 1949년에 오웬 해리스(Owen H. Harris)의 마모 벨트에 관한 특허였다. 이 특허는 마찰용 및 마모용 벨트의 표면적을 획기적으로 증대시켰다. B. F. 굿리치 사는 재래식 벨트보다 2배나 오래 사용 가능한 뫼비우스의 띠 형태의 컨베이어 벨트에 관한 특허를 받았다. 1957년에 제임스 트링클(James O. Trinkle)은 타다 남은 석탄이나 주물용 모래와 같은 뜨거운 재료들을 운반하는 데 이용되는 가변 뫼비우스의 띠 컨베이어 벨트에 관한 특허를 취득했다. 1960년대에는 드라이클리닝 기계에서부터 전자 부품 등에 이르기까지 뫼비우스 특허가 훨씬 더 다양한 분야에 확산됐다. 예를 들면 1964년에 리처드 데이비스는 뫼비우스의 띠 비반응 저항을 발명했다. 1967년에는 제너럴 모터스 사에 근무하던 제임스 제이콥스가 드라이클리닝 기계용 뫼비우스 자동 세척 필터에 관한 특허를 받았다. 제이콥스가 설계한 구조 덕분에 뫼비우스 필터 벨트 양쪽 면에서 때와 실 부스러기들을 세척하기가 훨씬 수월해졌다. 1986년에 토머스 브라운은 데이비스의 뫼비우스 저항을 축전기의 내부 구조에 이용해 특허를 취득했다.

오늘날 뫼비우스의 띠는 장난감과 퍼즐에 많이 이용되어 ‘재미있는 구슬 미로 찾기’라는 특허도 등록되었다. 기술 발전에 있어서도 필수 요소가 되어, 생명을 구하는 데도 이용되고 있다. 그 예로 2004년 뫼비우스의 띠를 장착한 복부 수술용 견인기에 관한 특허는 뫼비우스 고리가 수술 시 견인기를 조정하는 데 필요한 특수한 유형의 회전 동력을 제공하는 역할을 했다. 말 그대로 뫼비우스의 띠가 없는 곳은 없는 것이다. 

뫼비우스의 띠가 없는 곳은 없다!

뫼비우스의 띠는 기술․산업 분야에서만 쓰이는 것이 아니다. 문학, 연극, 영화 등 다양한 장르에서 방향성 없는 이 도형은 수없이 등장한다. 작품 이름을 일일이 예로 들기 벅찰 만큼 많다.

｢제로 곡면의 교수｣,   ｢A. 보츠와 뫼비우스의 띠｣,   ｢ 폴 번연 대 컨베이어 벨트｣, ｢어둠의 벽｣, ｢뫼비우스라는 이름의 지하철｣,  「 아만다 우즈의 비밀 생활｣,  ｢ 뫼비우스와 시드의 여행｣,  ｢ 로보토미 클럽｣,  ｢ 플래터 랜드｣,  ｢ 뫼비우스 스트리퍼｣,  ｢달그렌｣,  ｢잃어버린 시간을 찾아서｣, ｢어느 작가를 찾아 나선 여섯 명｣,  ｢시간과 콘웨이스｣, ｢도니 다코｣, ｢팜므 파탈｣,  ｢뫼비우스 더 스트리퍼 ｣ ,  ｢선물｣ , ｢섬 사람들｣ , ｢눈물나게 슬픈 작품｣ , ｢대머리 여가수｣ , ｢법에 따라｣, ｢도깨비집에서의 실종｣, ｢트위스터｣ , ｢오즈에서 온 방문자｣ , …….

에스허르의 ｢뫼비우스의 띠 I｣와 ｢뫼비우스의 띠 II(불개미)｣ 같은 판화 작품이나 미네소타 팀이 제작한 눈 조각 ｢매듭-분리｣처럼 다양한 미술 작품에서도 뫼비우스의 띠의 위용을 엿볼 수 있다. 요한 제바스티안 바흐가 작곡한 ｢게의 카논(Crab Canon)｣은 연주가가 시작부터 끝까지 연주한 다음에 악보를 뒤돌아 다시 연주하는 뫼비우스식 음악으로, 이 기묘한 도형은 음악의 영역에도 활용되었다. 이 밖에도 우표, 레고, 건축물, 컴퓨터 그래픽 등 뫼비우스의 띠를 활용한 다양한 작품을 소개했다. 한 사람의 수학자가 고안해 낸 고리 하나가 빙글빙글 돌아 엔지니어와 발명가 들에게 아이디어를 불어넣었고 예술가들의 창조성에 마술 같은 힘을 보태 주었다. 뫼비우스의 띠는 수학을 넘어 예술과 마술의 영역까지 나아갔다.

한 SF 작가는 과학이 고도로 발전하면 마술같이 된다고 한 적이 있다. 뫼비우스의 띠만큼 과학과 마술, 그리고 예술이 만나는 신비한 수학 도형이 따로 있을까?

뒤틀려 있는 신기한 띠를 발견한 뫼비우스의 생애부터 이 신기한 띠의 수학적 비밀을 파헤치는 데까지, 그리고 이 띠를 활용한 수많은 기술 특허와 예술의 영역을 이 책에서 빠짐없이 만날 수 있을 것이다.

차례 

감사의 말 5

기분이 좋아지는 뫼비우스 오행시 10

여행을 시작하며 13

구멍 속의 구멍을 통과하는 구멍 15 뫼비우스 박사의 유골 17

뫼비우스의 띠는 어디에나 존재한다! 19 잡동사니 23 기하학과 상상력 25

뫼비우스의 띠에 얽힌 한마디 28 종교와 뫼비우스의 띠 29

1장 | 뫼비우스 마술 쇼 35

뫼비우스의 띠 자르기 37 러닝 머신 수수께끼 43

뫼비우스의 역사상 지위에 관한 한마디 44

2장 | 매듭과 문명 45

구 안에 있는 개미들 47 띠 분리하기 49 간단한 샌드위치 뫼비우스의 띠 52

류블랴나 리본, 자폐성, 소용돌이 매듭 54 매듭, 그리고 문명의 승리 67

외계인 매듭 수수께끼 70 뫼비우스의 띠와 외계인 72

3장 | 뫼비우스의 생애 73

간략히 살펴본 아우구스트 뫼비우스의 일생 75 뫼비우스: 수학계의 완벽주의자 81

뫼비우스의 연구 업적 86 뫼비우스의 죽음 88 아우구스트 페르디난트 뫼비우스 연표 89

가짜 효시 동물 90 뫼비우스 미로 수수께끼 94 뫼비우스의 띠와 몸의 미학 95

4장 | 장난감과 특허에 이르기까지 97

수학 특허 100 뫼비우스의 띠는 특허계의 만물상 104

매듭 특허: 신발 끈에서 외과 수술까지 114 뫼비우스와 매듭 화학 116

뫼비우스 열차로 떠나는 휴일 여행 126 동물 그래프 수수께끼 128

패션과 헤어스타일에 나타난 뫼비우스의 띠 129

5장 | 신성한 위상 기하학, 그리고 그 너머 131

수학은 수명이 꽤 길다 133 매개 변수 134 파라드로믹 고리 138

위상 기하학 탐험 139 뫼비우스의 삼각 띠 149 요한 리스팅 박사와 위상 동형 사상 150

유령, 뫼비우스의 띠, 4차원 154 구와 도넛의 안팎 뒤집기 160

뫼비우스의 띠를 넘어서 163 뫼비우스 함수 166 응용 사례 174

옛날 수학을 현대적으로 응용하기 175 뫼비드롬 176 무소 부재한 권능을 지닌 π 178

뫼비우스의 띠와 그래프 이론 181 헥사플렉사곤 183

아직 살펴보지 않은 한쪽 곡면들 183 뫼비우스의 지름길 185 뫼비우스의 사면체 186

뫼비우스의 삼각형 187 솔레노이드 188 초승달형 구 192 프리즘 도넛의 경이로움 195

뫼비우스의 띠 위에서 완벽한 정사각형 나누기 199 무게 중심 계산법 201

휘갈겨 그린 지도에 색칠하기 문제 205 피라미드 수수께끼 206 대중 문화 속의 뫼비우스 207

6장 | 우주, 실제, 초월 209

여행, 뉴 데본셔를 넘어 211 초공간과 고유 기하학 218 클라인 병을 사랑해요 226

초공간 거울 231 뫼비우스 세계 235 3 토러스와 다른 멋진 다양체들 236

다중 우주 241 우리는 한갓 모의 실험일 뿐 244 우주 형태 측정하기 250

원기둥 위의 늑대들 253 구형 우주, 평평한 우주, 쌍곡선 우주 255

우리 가까이에 있는 또 다른 세계들 258 프레첼 변환 수수께끼 261 뫼비우스 우주 262

7장 | 게임, 미로, 미술, 음악, 건축 265

뫼비우스 미로 269 체스 272 뫼비우스 화랑 281 뫼비우스 음악 299

만두 찜통 모양의 띠 잘라 보기 303 심리학과 뫼비우스의 띠 305

8장 | 예술로 승화된 뫼비우스의 띠 307

방향성 없는 곡면에 관한 뫼비우스 문학 309

뫼비우스 구조로 된 문학 작품 319 클라인 병과 관련된 문학 작품 334

개미 행성 수수께끼 338 뫼비우스의 띠의 변두리에서 산다는 것 340

여행을 마치며 341

뫼비우스의 띠를 발판으로 삼아 343 이터널 선샤인 346 단순한 수학 348

아리송한 고리 353 정치·경제와 뫼비우스의 띠 353

해답 355

부록 369

참고 문헌 379

저자 소개 402

옮긴이 후기 406

찾아보기 409 

지은이 클리퍼드 픽오버(Clifford A. Pickover)

 프랭클린 앤드 마셜 대학을 졸업하고 예일 대학교에서 분자 생체 물리학 및 생화학 박사 학위를 받았다. 예술, 과학, 수학 및 이질적으로 보이는 여러 탐구 영역을 융합해 의식의 지평을 확장시키는 새로운 길을 개척하는 데 관심이 많은 그는 다양한 주제를 다룬 창의적인 과학책을 쓰는 베스트셀러 작가로 유명하다.

 그의 저서들은 한국어를 비롯해 여러 언어로 번역 출간되었으며, 대표작으로는  ｢우주의 고독(The Science of Aliens)｣, ｢신의 배틀(The Loom of God)｣, ｢오즈의 수학세계(The Mathematics of Oz)｣, ｢구골 박사의 수학 X-파일(Wonders of Numbers)｣, ｢천국의 별(The Stars of Heaven)｣, ｢하이퍼 스페이스(Surfing Through Hyperspace)｣, ｢피자 가게에서 만드는 미적분(Calculus and Pizza)｣, ｢시간여행 가이드(Time: A Traveler’s Guide)｣ 등 40종이 있다. 과학, 예술, 수학을 주제로 다양한 저명 학술지, 과학 잡지에 200편 이상의 기사를 기고했고, 《디스커버(Discover)》와 《오디세이(Odyssey)》에 칼럼을 연재했다.

 과학 잡지 《컴퓨터스 앤드 그래픽스(Computers and Graphics)》의 편집 위원이며 《오디세이》, 《레오나르도(Leonardo)》, 《아일럼(YLEM)》의 편집 자문 위원이며, IBM T. J 왓슨 연구소에서 일하고 있다. 미국 물리학회가 후원하는 물리학 사진 공모전에서 최우수상을 받았고, 발명 업적에 관한 상을 40개, 연구 업적에 관한 상을 3개 받았다. 또한 컴퓨터 관련 독창적인 특허를 50개 이상 보유하고 있다.

옮긴이 노태복

환경과 생명 운동 관련 시민 단체에서 해외 교류 업무를 맡던 중 번역의 길로 들어섰다. 과학과 인문의 경계에서 즐겁게 노니는 책들, 그리고 생태적 감수성을 일깨우는 책들에 관심이 많다. 옮긴 책으로 ｢동물에 반대한다｣, ｢생각하는 기계｣, ｢꿀벌 없는 세상, 결실 없는 가을｣, ｢생태학 개념어 사전｣, ｢신에 도전한 수학자｣, ｢진화의 무지개｣, ｢19번째 아내｣ 등이 있다.